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EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
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Einführung

Der italienische Mathematiker Geronimo Cardano (1501-1576;75) wurde mit der eigentlich sehr einfachen Aufgabe konfrontiert, eine Strecke von 10 Längeneinheiten so zu teilen, daß aus diesen beiden Stücken sich ein Rechteck mit 40 Flächeneinheiten ergibt. Dieses Problem stellte Cardano allerdings vor große Probleme, denn das Ergebnis der Gleichung

   führte zu     .

Dieses Ergebnis war absurd, denn aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen, denn jede positive und negative Zahl, die man mit sich selber multipliziert, ergibt immer eine positive Zahl. Geronimo Cardano wählte eine unkonventionelle Lösung und erfand einfach eine neue, imaginäre Einheit i und damit die neue Familie der komplexen Zahlen z.

Obwohl diese neue imaginäre Einheit i vielen Mathmatikern zu Anfang "gespenstisch" und "unwirklich" vorkam, war sie aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Ca. 200 Jahre später wurden die komplexen Zahlen geometrisch durch Caspar Wessel (1745-1818) und unabhängig von ihm 7 Jahre später von Jean Argand (1768-1822) interpretiert. Wessel dachte auch über eine Vektordarstellung der komplexen Zahlen nach. Heute kennen wir diese Interpretation als Gauss'sche Zahlenebene, nach Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Viele analytische Probleme ließen sich mit Hilfe der neuen imaginären Einheit i lösen und es taten sich Verbindungen zwischen mathematischen Größen auf, von denen man vorher nichts ahnte. Ein Beispiel hierfür ist die Eulersche Formel, auf die auch noch in den folgenden Abschnitten eingegangen wird. Komplexe Zahlen haben somit seit 400 Jahren ihren Platz in der Familie der Zahlenmengen. Sie genügen damit auch den Rechenregeln, die man schon von den reellen Zahlen kennt.

Praktische Anwendung finden die komplexen Zahlen vor allem in der Physik, der Quantenmechanik und besonders in der Elektrodynamik. Am Ende der Selbstlerneinheit werden verschiedene Beispiele, die Überlagerung von Schwingungen, die Selbstähnlichkeit und Fraktale in der Natur und die Mandelbrotmenge vorgestellt.
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