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FRAKTALE UND SELBSTÄHNLICHKEIT
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Fraktale und Selbstähnlichkeit

Der Franzose Benoit Mandelbrot (geboren 1924) fiel bei der Betrachtung von Karten der Küste Großbritanniens auf, dass die Länge der Küste variierte, je nachdem mit welchem Maßstab gemessen wurde. Ihm fiel zudem auf, dass die kleinen Ausschnitte in ihrer Form der gesamten Küste sehr ähnelten. Sie waren miniaturisierte Ausgaben der Küste. Er nannte diese Eigenschaft Selbstähnlichkeit. Er stellte weiter fest, dass man diese Eigenschaft nicht nur bei der Küste Großbritanniens findet, sondern auch bei vielen anderen Beispielen in der Natur, wie z.B. Wolken, Bäumen, Bergen, Gefäßsystem und Pflanzen (sehr schön beim Romanesco-Kohl zu sehen). Der Mathematik war es bisher nicht gelungen solch geformte Objekte zufriedenstellend zu beschreiben.

"Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Kegel" argumentierte Mandelbrot.

Seine Aussage wird weiter durch den Umstand unterstützt, dass mathematische geometrische Figuren im allgemeinen (die Strecke ausgenommen) das Prinzip der Selbstähnlichkeit nicht aufweisen im Gegensatz zu den Formen in der Natur. Ein Kreis z.B. wird bei unendlicher Vergrößerung in einem betrachteten Teilbereich zu einer Geraden. Mandelbrot ging daraufhin dazu über, Formen in der Natur als fraktal zu bezeichnen. Fraktale (lateinisch fractus = gebrochen) haben eine gebrochene Dimension, d.h. die Dimension ist eine nichtganzzahlige reelle Zahl. Geometrische Formen haben eine ganzzahlige Dimension. Eine Strecke hat die Dimension 1, eine Fläche die Dimension 2 und ein Körper die Dimension 3.

Fraktales Verhalten kommt also sehr häufig in der Natur vor. Selbstähnlichkeit ist eine typische Eigenschaft von Fraktalen, ist aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz von Fraktalen (z.B. eine Linie ist in trivialerweise auch selbstähnlich, aber kein fraktales Gebilde).

Weiter macht man noch eine Unterscheidung zwischen Selbstähnlichkeit und exakter Selbstähnlichkeit. Das erste beschreibt den Zustand in der Natur, wo nur Teile eines Objektes, kleine Kopien vom gesamten Objekt enthalten, dies ist ein natürliches Fraktal. Ein Objekt ist exakt selbstähnlich, wenn sie in Teile, die exakte Kopien des ganzen Objektes sind, zerlegt werden kann. Jeder beliebige Teil enthält eine exakte Kopie des ganzen Objektes.
Exakte Selbstähnlichkeit findet man u.a. bei der sogenannten Kochschen Kurve (Helge von Koch, 1870 - 1924).

Auf Mandelbrot geht die nach ihm benannte Mandelbrotmenge zurück. An ihrem Beispiel soll gezeigt werden, wie die komplexen Zahlen bei Fraktalen ins Spiel kommen.

Die Mandelbrotmenge

Die Mandelbrotmenge basiert auf einer sehr einfachen Gleichung:

.

und c sollen komplexe Zahlen sein. Das Bild der Mandelbrotmenge kann man sich dann als Gauß'sche Zahlenebene vorstellen. Man wählt irgendeinen Bildpunkt, Pixel, aus, dessen Koordinaten c zugeordnet werden. Dies ist das "Startpixel" oder der Startwert. Dann werden mit der obigen Gleichung mehrere Iterationsschritte durchgeführt (Beispielrechnung der ersten Iterationen).

Zu Beginn hat man sich eine Abbruchbedingung für überlegt. Dies kann irgendein Zahlenwert sein. Oder man sagt auch, wenn der Wert von nach n Iterationen gegen unendlich geht (divergiert), dann wird abgebrochen.

Erreicht auch nach dem n-ten Iterationsschritt nicht die Abbruchbedingung, bekommt das Startpixel die Farbe schwarz. Wenn doch die Abbruchbedingung erreicht, bekommt es die Farbe, die einem bestimmten Iterationsschritt zugeordnet wurde. Z.B. die Abbruchbedingung wurde nach dem 4.Iterationsschritt erreicht, dann ist das Startpixel mit einer hellblauen Farbe zu kennzeichnen. Daraus ergibt sich die Struktur, welche oben in der Abbildung zu sehen ist. Man nennt diese Figur auch "Apfelmännchen". Alle schwarzen Pixel gehören zur Mandelbrotmenge.

Die Mandelbrotmenge ist eine fraktale Menge und sie besitzt die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit. Wenn es möglich wäre unendlich viele Iterationsschritte durchzuführen, dann könnte man immer weiter in die Menge hineinzoomen und würde immer wieder die gleichen Formen erkennen. Dies ist aber auf Grund der hohen Rechenleistung nicht möglich.

Neben der Mandelbrotmenge gibt es noch andere Mengen, z.B. die Juliamenge, die die gleichen Eigenschaften besitzen. Sie unterscheiden sich nur durch den Anfangswert c.
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