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IMAGINÄRE ZAHLEN
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Die imaginäre Zahl i

Wenn eine negative oder positive Zahl quadriert wird, erhält man immer eine positive Zahl. Es gilt also

$\displaystyle a^2=\left(+a\right)\cdot\left(+a\right)=\left(-a\right)\cdot\left(-a\right)$.

Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist deshalb immer eine negative oder eine positive Zahl. Allerdings kann man aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen. Häufig stößt man aber, wie in der Einleitung angesprochen, beim Lösen von einfachen, quadratischen Gleichungen auf diesen Fall. Aus diesem Grund wurde die Menge der komplexen Zahlen eingeführt. Die Einheit i der komplexen Zahlen wird so definiert:

DEFINITION: Die Zahl i hat die Eigenschaft:

$\displaystyle i^2=-1$   oder auch    $\displaystyle i=\sqrt{-1}$.

i ist damit die Einheit der imaginären Zahlen. Dies ist vergleichbar mit der 1 bei den reellen Zahlen.(*

Eine beliebige imaginäre Zahl kann man aus der imaginären Einheit i und einer reellen Zahl y konstruieren: $\displaystyle iy$.

Negative Wurzeln kann man nun auf die folgende Weise schreiben:

$\displaystyle \sqrt{-a}=\sqrt{-1\cdot a}=\sqrt{-1}\sqrt{a}=i\sqrt{a}$.

Die Wurzel einer negativen Zahl ist laut der obigen Definition eine imaginäre Zahl. Hilfreich beim Vereinfachen von Termen kann es sein, wenn man beachtet, dass gerade Potenzen von i immer +/-1 ergeben:

 , ,.
(* In der Informatik,Physik oder Elektrotechnik wird statt dem "i" der Buchstabe "j" verwendet, da "i" traditionell bei der Programmierung als Laufvariable verwendet und die Stromstärke auch mit i bezeichnet wird.)
 
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