DIE KOMPLEXE ZAHL Z

Die komplexe Zahl z

In der Schule werden am Anfang meist, ohne das explizit darauf hingewiesen wird, die natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlenmengen eingeführt. Das ganz klare Differenzierungen zwischen den einzelnen Mengen gemacht werden, erfährt man oft erst in den höheren Klassenstufen. Die Menge der komplexen Zahlen

ist eine weitere Zahlenmenge, die den anderen übergeordnet wird.

DEFINITION:

Seien $x,y \in \mathbb{R}$ und i die imaginäre Einheit, dann ist die Addition

eine komplexe Zahl, also $z\in \mathbb{C}$ , z ist Element der Menge der komplexen Zahlen. Die Subtraktion

$z^{*}=x-iy$

ist die zu z komplex-konjugierte Zahl $z^{*}\in\mathbb{C}$ .

Dabei wird x als der Realteil von z bezeichnet. Man findet auch die Notation x = Re(z).
y ist der Imaginärteil von z. Hier existiert die Notation y = Im(z).
y ist eigentlich eine reelle Zahl, wird aber durch die Multiplikation mit i zum Imaginärteil.

Eine komplexe Zahl ist nur dann gleich Null, wenn sowohl der Realteil, als auch der Imaginärteil gleich Null ist.

Wenn der Imaginärteil einer komplexen Zahl gleich Null ist, wird aus der komplexen Zahl eine reelle Zahl. Diese Tatsache gibt auch einen Hinweis auf die Rechenregeln für komplexe Zahlen. Denn in dem Fall, dass aus der komplexen Zahl eine reelle wird, müssen auch die Rechenregeln für komplexe Zahlen in die für reelle Zahlen übergehen.

Die graphische Darstellung von reellen Zahlen ist schon aus der Schule bekannt. Wie man sich nun die Darstellung der komplexen Zahlen in einem Koordinatensystem vorstellen kann, wird in dem nächsten Abschnitt gezeigt.

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