EINHEITSKREIS, GRADMASS UND BOGENMASS

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis wird benutzt, um die grundlegenden Funktionen, z.B. in der Trigonometrie, zu definieren. Er ist in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingebettet. Der Ursprung dieses Koordinatensystems fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen. Der Radius hat den Wert 1. Diese Tatsache erleichtert die Definition von Funktionen.

Genauso wie das Koordinatensystem nennt man die einzelnen Abschnitte des Kreises Quadranten. Der 1. Quadrant liegt im vollständig positiven Teil des Koordinatensystems. Die weiteren Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn gezählt.

Winkel im Einheitskreis werden durch einen Zeiger dargestellt, der seinen Ursprung im Mittelpunkt hat und am Kreisrand endet. Wenn der Zeiger auf der positiven x-Achse liegt, hat man den Anfangswinkel α₀. Wenn man mit dem Zeiger alle Quadranten abgefahren hat und wieder zum Ausgangspunkt zurückgekehrt ist, hat man einen vollen Winkel.

Es gilt weiterhin folgende Verabredung:
Wenn der Zeiger gegen den Uhrzeigersinn verläuft, dann werden die Winkel positiv gezählt, wenn der Zeiger mit dem Uhrzeigersinn läuft, wird er negativ gezählt.

Der Einheitskreis

Berechnung von Bogen- und Gradmaß

Winkel im Einheitskreis können auf zwei Arten, dem Gradmaß und dem Bogenmaß, gemessen werden:
Mit dem Gradmaß wird in der Geometrie gemessen. In der Mathematik allerdings und vor allem in der Physik wird meistens das Bogenmaß verwendet. Beide Berechnungen des Winkels stehen im Zusammenhang zueinander. Im Gradmaß gehen die Winkel vom Anfangswinkel 0° bis zum vollem Winkel von 360°. Im Bogenmaß von 0 rad bis 2

rad (

ist die Kreiszahl mit dem Wert

= 3,141592654..).

Daraus ergeben sich zur Umrechnung von Gradmaß ins Bogenmaß oder umgekehrt folgende Gleichungen, mit α als der Winkel in Grad und im Bogenmaß:

und

Der folgende Rechner rechnet Bogenmaß in das Gradmaß um und umgedreht:

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