Die drei Arkusfunktionen
| Funktion | Schreibweisen | Eingabe | Ausgabe |
|---|---|---|---|
| Arkussinus | arcsin, asin, sin⁻¹ | -1 bis 1 | -90° bis 90° |
| Arkuskosinus | arccos, acos, cos⁻¹ | -1 bis 1 | 0° bis 180° |
| Arkustangens | arctan, atan, tan⁻¹ | alle reellen Zahlen | -90° bis 90° |
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Wertetabelle
| x | arcsin(x) | arccos(x) |
|---|---|---|
| -1 | -90° | 180° |
| -0,866 | -60° | 150° |
| -0,707 | -45° | 135° |
| -0,5 | -30° | 120° |
| 0 | 0° | 90° |
| 0,5 | 30° | 60° |
| 0,707 | 45° | 45° |
| 0,866 | 60° | 30° |
| 1 | 90° | 0° |
Fällt dir etwas auf? arcsin(x) + arccos(x) = 90° - immer. Das liegt daran, dass sin(α) = cos(90° - α).
Warum ist der Wertebereich eingeschränkt?
sin(30°) = 0,5. Aber sin(150°) = 0,5 ebenfalls. Welchen Winkel soll arcsin(0,5) zurückgeben? Ohne Einschränkung wäre die Antwort nicht eindeutig.
Deshalb wird der Wertebereich begrenzt:
- arcsin: -90° bis 90° (1. und 4. Quadrant)
- arccos: 0° bis 180° (1. und 2. Quadrant)
- arctan: -90° bis 90° (ohne die Grenzen selbst)
So liefert jede Arkusfunktion genau einen Winkel pro Eingabewert.
Wichtige Zusammenhänge
Arkustangens und atan2
arctan(y/x) hat ein Problem: Du verlierst die Information, in welchem Quadranten der Winkel liegt. arctan(1/1) = 45° und arctan(-1/-1) = 45° - obwohl die Punkte (1,1) und (-1,-1) in verschiedenen Quadranten liegen.
Die Funktion atan2(y, x) löst das. Sie bekommt x und y getrennt und gibt den korrekten Winkel von -180° bis 180° zurück. In der Programmierung und bei komplexen Zahlen ist atan2 die bessere Wahl.
Physik: Winkelberechnungen bei Kräftezerlegung, Wurfparabel, Optik - überall wo du aus Seitenverhältnissen Winkel brauchst.
Programmierung: Spieleentwicklung, Robotik und Computergrafik nutzen arctan und atan2 ständig. Jedes Mal wenn sich etwas in eine Richtung drehen soll.
Navigation: Der Kurswinkel zwischen zwei GPS-Koordinaten wird mit arctan berechnet.
Elektrotechnik: Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung wird mit arctan bestimmt.
Häufige Fragen
Was sind Arkusfunktionen einfach erklärt?
Arkusfunktionen sind die Umkehrung von Sinus, Kosinus und Tangens. Du gibst einen Wert ein und bekommst den Winkel zurück. Beispiel: sin(30°) = 0,5 wird zu arcsin(0,5) = 30°.
Ist arcsin das gleiche wie sin⁻¹?
Ja. arcsin(x), asin(x) und sin⁻¹(x) bedeuten alle das gleiche. sin⁻¹ ist die Schreibweise auf den meisten Taschenrechnern.
Warum gibt arcsin(0,5) nur 30° und nicht auch 150°?
Weil der Wertebereich auf -90° bis 90° eingeschränkt ist. Sonst wäre die Funktion nicht eindeutig. Wenn du den Winkel im 2. Quadranten brauchst, rechne 180° - arcsin(x).
Was ist der Unterschied zwischen arctan und atan2?
arctan(y/x) gibt Winkel von -90° bis 90°. atan2(y,x) gibt Winkel von -180° bis 180° und kennt den korrekten Quadranten. In der Programmierung solltest du immer atan2 verwenden.
Erkläre mir Arkusfunktionen (arcsin, arccos, arctan) so, dass ich sie wirklich verstehe. Warum braucht man Umkehrfunktionen? Warum ist der Wertebereich eingeschränkt? Zeichne mir den Graphen von arcsin als ASCII-Art. Dann gib mir 5 Aufgaben mit Lösungsweg: Winkel aus Seitenverhältnissen berechnen.
Mein Kind hat Schwierigkeiten mit den Arkusfunktionen (arcsin, arccos, arctan). Erkläre mir als Elternteil zuerst in einfachen Worten, was das ist - ohne Fachbegriffe. Dann zeige mir ein Beispiel aus dem Alltag: Wenn ich weiß, dass eine Rampe 1 Meter hoch und 5 Meter lang ist, welchen Winkel hat sie? Schritt für Schritt.