Die Formel
Du quadrierst den Realteil, quadrierst den Imaginärteil, addierst beides und ziehst die Wurzel. Das Ergebnis ist immer ≥ 0 und nur dann 0, wenn z = 0 ist.
Beispiele
| z | Rechnung | |z| |
|---|---|---|
| 3 + 4i | √(9 + 16) = √25 | 5 |
| 1 + i | √(1 + 1) = √2 | ≈ 1,414 |
| 5i | √(0 + 25) = √25 | 5 |
| −3 | √(9 + 0) = √9 | 3 |
| −2 + 3i | √(4 + 9) = √13 | ≈ 3,606 |
| 6 − 8i | √(36 + 64) = √100 | 10 |
Geometrische Bedeutung
In der Gaußschen Zahlenebene wird z = a + bi als Punkt (a, b) dargestellt. Der Betrag |z| ist der Abstand dieses Punktes vom Ursprung (0, 0).
Alle komplexen Zahlen mit dem gleichen Betrag liegen auf einem Kreis um den Ursprung. Zum Beispiel liegen 3 + 4i, -4 + 3i und 5 + 0i alle auf dem Kreis mit Radius 5.
Wichtige Eigenschaften
- |z| ≥ 0 - der Betrag ist nie negativ
- |z| = 0 ⟺ z = 0 - nur die Null hat Betrag 0
- |z · w| = |z| · |w| - Betrag eines Produkts = Produkt der Beträge
- |z/w| = |z| / |w| - analog für Division (w ≠ 0)
- |z + w| ≤ |z| + |w| - Dreiecksungleichung
- z · z̄ = |z|² - Produkt mit dem komplex Konjugierten ergibt das Betragsquadrat
Betrag und Polarform
In der Polarform z = r · (cos(φ) + i·sin(φ)) ist r = |z| der Betrag. Der Winkel φ heißt Argument. Die Umrechnung:
Und umgekehrt: a = r·cos(φ), b = r·sin(φ).
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl?
Du nimmst den Realteil a und den Imaginärteil b, quadrierst beide, addierst die Quadrate und ziehst die Wurzel: |z| = √(a² + b²). Beispiel: |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Kann der Betrag negativ sein?
Nein. Da du Quadrate addierst und dann die (positive) Wurzel ziehst, ist |z| immer ≥ 0. Der Betrag ist nur dann 0, wenn sowohl Realteil als auch Imaginärteil 0 sind.
Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Absolutbetrag?
Bei reellen Zahlen ist der Betrag dasselbe wie der Absolutbetrag: |−3| = 3. Bei komplexen Zahlen verallgemeinert √(a² + b²) dieses Konzept auf zwei Dimensionen.
Warum gilt z · z̄ = |z|²?
(a + bi)(a − bi) = a² − (bi)² = a² − b²i² = a² − b²(−1) = a² + b² = |z|². Das komplex Konjugierte z̄ = a − bi "entfernt" dabei das i.
Ich lerne den Betrag komplexer Zahlen. Erkläre mir die Formel |z| = √(a²+b²) geometrisch mit dem Satz des Pythagoras. Dann gib mir 8 Aufgaben: Berechne den Betrag von verschiedenen komplexen Zahlen (auch mit negativen Teilen, reinen imaginären Zahlen und Brüchen). Zeige bei jeder Aufgabe den Rechenweg.
Mein Kind muss den Betrag komplexer Zahlen berechnen und versteht die Formel nicht. Erkläre mir das Konzept mit einer einfachen Analogie (z.B. Entfernung auf einer Karte) und zeige mir, wie ich es meinem Kind erklären kann. Gib mir dann 3 einfache Übungsaufgaben mit Lösungen.