Was ist der Einheitskreis?
Ein Kreis mit Radius r = 1 und Mittelpunkt im Ursprung (0, 0). Die Gleichung lautet:
Jeder Punkt P auf dem Kreis lässt sich durch einen Winkel α beschreiben. Der Winkel wird von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Dann gilt:
Das bedeutet: Der Kosinus ist die x-Koordinate, der Sinus ist die y-Koordinate. Weil x² + y² = 1 gilt, folgt daraus direkt die wichtigste Beziehung der Trigonometrie:
Wo steckt der Tangens?
Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus:
Geometrisch betrachtet: Lege eine senkrechte Linie an den Kreis bei x = 1 (die Tangente). Verlängere den Zeiger, bis er diese Linie trifft. Die Höhe dieses Schnittpunkts ist der Tangens.
Wenn der Zeiger parallel zur Tangente steht (bei 90° und 270°), trifft er die Linie nie. Deshalb ist der Tangens bei diesen Winkeln nicht definiert.
Wertetabelle: Alle wichtigen Winkel
| Winkel | Bogenmaß | sin(α) | cos(α) | tan(α) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | n. def. |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | −1/2 | −√3 ≈ −1,732 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −√3/2 | −1/√3 ≈ −0,577 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −1/2 | −√3/2 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −√3/2 | −1/2 | √3 ≈ 1,732 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | n. def. |
| 300° | 5π/3 | −√3/2 | 1/2 | −√3 ≈ −1,732 |
| 315° | 7π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | −1/2 | √3/2 | −1/√3 ≈ −0,577 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Die vier Quadranten
Der Einheitskreis wird durch die x- und y-Achse in vier Quadranten geteilt. In jedem Quadranten haben die Winkelfunktionen bestimmte Vorzeichen:
| Quadrant | Winkelbereich | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° – 90° | + | + | + |
| II | 90° – 180° | + | − | − |
| III | 180° – 270° | − | − | + |
| IV | 270° – 360° | − | + | − |
Warum ist der Einheitskreis so wichtig?
Er macht Winkelfunktionen für alle Winkel möglich. Im rechtwinkligen Dreieck funktionieren Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0° und 90°. Der Einheitskreis erweitert die Definition auf alle Winkel - auch negative und solche über 360°.
Er zeigt die Periodizität. Nach einer vollen Umdrehung (360° oder 2π) sind wir wieder am Anfang. Deshalb wiederholen sich sin und cos mit Periode 2π und tan mit Periode π.
Er verbindet Geometrie und Analysis. In der Analysis arbeitest du mit Funktionen wie f(x) = sin(x). Der Einheitskreis zeigt dir, warum diese Funktionen so aussehen wie sie aussehen - warum sin bei 0 startet, bei π/2 das Maximum hat und bei π wieder auf 0 fällt.
Zusammenhänge am Einheitskreis
Weil der Radius 1 ist, gelten besonders einfache Beziehungen:
Das ist der Satz des Pythagoras angewendet auf den Einheitskreis. Egal welchen Winkel du nimmst - die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus ergibt immer 1.
Weitere wichtige Beziehungen:
Häufige Fragen
Was ist der Einheitskreis einfach erklärt?
Ein Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt. Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten (cos α, sin α). So kannst du für jeden Winkel α die Werte von Sinus und Kosinus direkt ablesen.
Warum heißt er Einheitskreis?
Weil sein Radius genau 1 ist - eine Einheit. Das macht alle Rechnungen einfacher, weil der Radius als Faktor wegfällt.
Muss ich die Wertetabelle auswendig lernen?
Für Klausuren: Ja, zumindest die Werte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90°. Die anderen Quadranten ergeben sich durch Symmetrie und die Vorzeichenregeln. Tipp: Lerne die Sinuswerte (0, 1/2, √2/2, √3/2, 1) - die Kosinuswerte sind dieselben in umgekehrter Reihenfolge.
Was ist der Unterschied zwischen Einheitskreis und normalem Kreis?
Beim Einheitskreis ist der Radius r = 1. Bei einem Kreis mit beliebigem Radius r gilt: x = r · cos(α) und y = r · sin(α). Der Einheitskreis ist der Spezialfall, bei dem der Radius-Faktor entfällt.
Erkläre mir den Einheitskreis Schritt für Schritt. Beginne mit dem Kreis und dem ersten Quadranten, dann erweitere auf alle vier Quadranten. Zeige mir an konkreten Beispielen, wie ich sin, cos und tan für beliebige Winkel ablese. Gib mir dann 5 Übungsaufgaben, bei denen ich anhand des Einheitskreises Werte bestimmen muss.
Mein Kind muss den Einheitskreis in Mathe lernen und versteht ihn nicht. Erkläre mir erst selbst was das ist, als wäre ich Mathe-Laie. Dann gib mir eine Methode, wie ich es meinem Kind mit einer Uhr oder einem Zifferblatt anschaulich erklären kann - ohne Fachbegriffe.