So funktioniert die Darstellung
Stell dir ein normales x-y-Koordinatensystem vor. Der einzige Unterschied:
- x-Achse = reelle Achse (Re): Hier trägst du den Realteil a ab
- y-Achse = imaginäre Achse (Im): Hier trägst du den Imaginärteil b ab
Die komplexe Zahl z = 3 + 2i wird zum Punkt (3, 2): 3 Einheiten nach rechts, 2 Einheiten nach oben.
Beispiele eintragen
| Komplexe Zahl | Punkt in der Ebene | Lage |
|---|---|---|
| 3 + 2i | (3, 2) | Rechts oben (1. Quadrant) |
| −1 + 4i | (−1, 4) | Links oben (2. Quadrant) |
| −2 − 3i | (−2, −3) | Links unten (3. Quadrant) |
| 4 − i | (4, −1) | Rechts unten (4. Quadrant) |
| 5 | (5, 0) | Auf der reellen Achse |
| 3i | (0, 3) | Auf der imaginären Achse |
| 0 | (0, 0) | Ursprung |
Betrag und Argument
Jeder Punkt in der Ebene lässt sich auch durch seinen Abstand vom Ursprung und seinen Winkel beschreiben:
Der Betrag r ist die Länge des Pfeils vom Ursprung zum Punkt. Das Argument φ ist der Winkel, den dieser Pfeil mit der positiven reellen Achse einschließt (gegen den Uhrzeigersinn gemessen).
Kartesisch vs. Polar
Dieselbe komplexe Zahl lässt sich auf zwei Arten beschreiben:
| Form | Schreibweise | Benutzt |
|---|---|---|
| Kartesisch | z = a + bi | Realteil a und Imaginärteil b |
| Polar | z = r · (cos(φ) + i·sin(φ)) | Betrag r und Winkel φ |
| Euler | z = r · e^(iφ) | Betrag r und Winkel φ |
Umrechnung kartesisch → polar
Umrechnung polar → kartesisch
Was sieht man in der Gaußschen Ebene?
Addition: Addierst du zwei komplexe Zahlen, ist das geometrisch eine Vektoraddition - wie das Parallelogramm-Gesetz.
Multiplikation: Multiplizierst du z₁ · z₂, addieren sich die Winkel und die Beträge multiplizieren sich. Deshalb ist Multiplikation mit i eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
Konjugation: Das komplex Konjugierte z̄ = a − bi ist die Spiegelung an der reellen Achse.
Betrag: Alle Zahlen mit gleichem Betrag liegen auf einem Kreis um den Ursprung.
Verbindung zur Eulerschen Formel
Die Eulersche Formel e^(iφ) = cos(φ) + i·sin(φ) beschreibt Punkte auf dem Einheitskreis (Kreis mit Radius 1). Der Winkel φ bestimmt die Position auf dem Kreis. Jede komplexe Zahl z = r · e^(iφ) liegt auf einem Kreis mit Radius r.
Häufige Fragen
Was ist die Gaußsche Zahlenebene?
Ein Koordinatensystem, in dem komplexe Zahlen als Punkte dargestellt werden. Die x-Achse zeigt den Realteil, die y-Achse den Imaginärteil. So wird z = a + bi zum Punkt (a, b).
Wie zeichne ich eine komplexe Zahl ein?
Gehe vom Ursprung a Einheiten nach rechts (oder links bei negativem a) und b Einheiten nach oben (oder unten bei negativem b). Dort liegt dein Punkt.
Was ist der Unterschied zur normalen x-y-Ebene?
Rein geometrisch kein Unterschied - es ist dasselbe Koordinatensystem. Der Unterschied ist die Interpretation: Die y-Achse steht für den Imaginärteil, und die Punkte gehorchen den Rechenregeln komplexer Zahlen (z.B. Multiplikation = Drehstreckung).
Was ist das Argument einer komplexen Zahl?
Der Winkel φ zwischen der positiven reellen Achse und dem Pfeil vom Ursprung zum Punkt. Er wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen und liegt üblicherweise im Bereich (−π, π] oder [0, 2π).
Erkläre mir die Gaußsche Zahlenebene Schritt für Schritt. Zeige mir, wie ich diese Zahlen einzeichne: 2+3i, -1+i, 4-2i, -3-3i, 5, -2i. Erkläre dann, wie Addition und Multiplikation geometrisch aussehen. Zeichne alles als ASCII-Diagramm, damit ich es mir vorstellen kann.
Mein Kind soll komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. Ich kenne das Konzept nicht. Erkläre mir das Ganze so, als wäre die Gaußsche Ebene eine Landkarte und die komplexen Zahlen wären Orte darauf. Dann zeige mir, wie ich meinem Kind beim Zeichnen helfen kann, mit konkreten Schritten.