Komplexe Zahlen Rechner - Addition, Subtraktion, Multiplikation

Dieser Rechner nimmt dir das Ausmultiplizieren ab. Gib Real- und Imaginärteil beider Zahlen ein und du bekommst sofort alle vier Grundrechenarten. Die Ergebnisse werden auf 4 Dezimalstellen gerundet.

Die Formeln

Addition

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Realteil plus Realteil, Imaginärteil plus Imaginärteil. So einfach wie Vektoraddition.

Subtraktion

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Genau wie Addition, nur mit Minus.

Multiplikation

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Du multiplizierst aus wie bei (a + b)(c + d) und ersetzt dann i² durch -1. Das Produkt i · i = i² = -1 ist der entscheidende Schritt.

Herleitung: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + adi + bci + bd·(-1) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Division

(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c² + d²) + (bc − ad) / (c² + d²) · i

Du erweiterst Zähler und Nenner mit dem komplex Konjugierten des Nenners (c − di). Im Nenner entsteht c² + d² - eine reelle Zahl.

Herleitung: (a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di) / ((c + di)(c − di)) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

Beispielrechnung

Gegeben: z₁ = 3 + 2i, z₂ = 1 + 4i

Addition: (3 + 2i) + (1 + 4i) = (3 + 1) + (2 + 4)i = 4 + 6i

Subtraktion: (3 + 2i) − (1 + 4i) = (3 − 1) + (2 − 4)i = 2 − 2i

Multiplikation: (3 + 2i)(1 + 4i) = (3·1 − 2·4) + (3·4 + 2·1)i = (3 − 8) + (12 + 2)i = −5 + 14i

Division: (3 + 2i)/(1 + 4i) = ((3·1 + 2·4) + (2·1 − 3·4)i) / (1² + 4²) = (3 + 8 + (2 − 12)i) / 17 = 11/17 − 10/17·i ≈ 0,6471 − 0,5882i

Typische Fehler

Bei der Multiplikation i² vergessen. Wenn du (a + bi)(c + di) ausmultiplizierst, entsteht ein Term bdi². Dieses i² musst du durch -1 ersetzen. Vergisst du das, ist das Vorzeichen falsch.

Bei der Division nicht konjugiert erweitern. Du kannst nicht einfach Real- durch Realteil und Imaginär- durch Imaginärteil teilen. Du musst mit dem komplex Konjugierten erweitern.

Wozu brauche ich das eigentlich? Und warum muss ich das lernen? Selbe Anwendungen wie komplexe Zahlen - hier kannst du die Berechnungen direkt üben.

Häufige Fragen

Wie addiert man komplexe Zahlen?

Realteil plus Realteil und Imaginärteil plus Imaginärteil. Beispiel: (2 + 3i) + (4 + i) = 6 + 4i.

Wie multipliziert man komplexe Zahlen?

Ausmultiplizieren und i² = -1 einsetzen. Beispiel: (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.

Wie dividiert man komplexe Zahlen?

Zähler und Nenner mit dem komplex Konjugierten des Nenners multiplizieren. Dadurch wird der Nenner reell und du kannst normal teilen.

Kann man komplexe Zahlen der Größe nach ordnen?

Nein, komplexe Zahlen lassen sich nicht anordnen wie reelle Zahlen. Du kannst aber ihre Beträge vergleichen: |z₁| < |z₂| sagt dir, welche Zahl näher am Ursprung liegt.

> weiter mit chatgpt:

Ich übe gerade das Rechnen mit komplexen Zahlen. Gib mir 10 Aufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad: Erst Addition/Subtraktion, dann Multiplikation, dann Division. Bei jeder Aufgabe: Erst die Aufgabe, dann der komplette Rechenweg, dann das Ergebnis. Verwende auch negative Zahlen und Brüche.

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> für eltern:

Mein Kind muss mit komplexen Zahlen rechnen und ich soll beim Üben helfen. Erkläre mir die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) mit komplexen Zahlen so, dass ich sie selbst verstehe. Verwende einfache Zahlen als Beispiele. Dann gib mir 5 Aufgaben mit Lösungen, die ich als "Mini-Test" verwenden kann.