Komplexe Zahlen Spickzettel - Alle Formeln

Kartesische Form

z = a + bi

Re(z) = a (Realteil)

Im(z) = b (Imaginärteil)

Imaginäre Einheit: i² = −1, also i = √(−1)

Polarform

z = r · (cos(φ) + i · sin(φ))

Betrag: r = |z| = √(a² + b²)

Argument: φ = arctan(b/a)

Beachte den Quadranten: Für a < 0 muss φ um π korrigiert werden.

Eulerform

z = r · e^iφ

Kurzschreibweise der Polarform, basierend auf der Eulerschen Formel:

e^iφ = cos(φ) + i · sin(φ)

Betrag

|z| = √(a² + b²)

Eigenschaften:

|z| ≥ 0 (immer nicht-negativ)

|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

|z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (Dreiecksungleichung)

Konjugiert komplexe Zahl

z̄ = a − bi

z · z̄ = |z|² = a² + b²

z + z̄ = 2a (reell)

z − z̄ = 2bi (imaginär)

|z̄| = |z|

Addition & Subtraktion

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Realteil und Imaginärteil werden getrennt addiert bzw. subtrahiert.

Multiplikation

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

In Polarform/Eulerform einfacher:

r₁ · e^iφ₁ · r₂ · e^iφ₂ = r₁r₂ · e^{i(φ₁+φ₂)}

Beträge multiplizieren, Winkel addieren.

Division

(a + bi) / (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + ((bc − ad)/(c² + d²))i

Trick: Zähler und Nenner mit c − di erweitern.

In Eulerform:

(r₁ · e^iφ₁) / (r₂ · e^iφ₂) = (r₁/r₂) · e^{i(φ₁−φ₂)}

Beträge dividieren, Winkel subtrahieren.

Potenzen (De Moivre)

(r · e^iφ)ⁿ = rⁿ · e^inφ

Oder in trigonometrischer Schreibweise:

[r · (cos(φ) + i · sin(φ))]ⁿ = rⁿ · (cos(nφ) + i · sin(nφ))

Betrag potenzieren, Winkel mit n multiplizieren.

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