Grunddefinitionen
Im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse (H), Gegenkathete (G) und Ankathete (A):
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse = G / H
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse = A / H
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = G / A
Standardwerte (0° – 360°)
| α | rad | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | n.d. |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | −1/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −√3/2 | −√3/3 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −1/2 | −√3/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −√3/2 | −1/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | n.d. |
| 300° | 5π/3 | −√3/2 | 1/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | −1/2 | √3/2 | −√3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Wichtige Zusammenhänge
sin²(α) + cos²(α) = 1
tan(α) = sin(α) / cos(α)
1 + tan²(α) = 1 / cos²(α)
sin(−α) = −sin(α) (ungerade)
cos(−α) = cos(α) (gerade)
sin(90° − α) = cos(α)
cos(90° − α) = sin(α)
Additionstheoreme
sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)
sin(α − β) = sin(α)·cos(β) − cos(α)·sin(β)
cos(α + β) = cos(α)·cos(β) − sin(α)·sin(β)
cos(α − β) = cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β)
tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 − tan(α)·tan(β))
Doppelwinkelformeln
sin(2α) = 2·sin(α)·cos(α)
cos(2α) = cos²(α) − sin²(α)
cos(2α) = 2·cos²(α) − 1
cos(2α) = 1 − 2·sin²(α)
tan(2α) = 2·tan(α) / (1 − tan²(α))
Bogenmaß-Umrechnung
Bogenmaß = Grad × π / 180°
Grad = Bogenmaß × 180° / π
Wichtige Werte:
| Grad | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| rad | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
1 rad ≈ 57,296°
Eselsbrücken
SOH-CAH-TOA (englisch):
- Sine = Opposite / Hypotenuse
- Cosine = Adjacent / Hypotenuse
- Tangent = Opposite / Adjacent
"Geh Heim - Altes Haus - Gib Acht" (deutsch):
- Geh Heim = sin (Gegenkathete / Hypotenuse)
- Altes Haus = cos (Ankathete / Hypotenuse)
- Gib Acht = tan (Gegenkathete / Ankathete)
Vorzeichen in den Quadranten - "Alle Studenten trinken Cola":
- I: Alle positiv
- II: nur Sinus positiv
- III: nur Tangens positiv
- IV: nur Cosinus positiv
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Stelle mir 10 Übungsaufgaben zur Trigonometrie, Niveau Mathe-LK. Mische verschiedene Themen: Standardwerte ablesen, Additionstheoreme anwenden, Gleichungen lösen, Doppelwinkelformeln nutzen. Bei jeder Aufgabe: Erst die Aufgabe, dann eine Minute Denkpause (sag mir ich soll pausieren), dann der vollständige Lösungsweg.
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