Additionstheoreme - Formeln und Rechner

Additionstheoreme beschreiben, wie du Sinus, Kosinus und Tangens einer Winkelsumme oder -differenz berechnest. Du brauchst sie, wenn zwei Winkel addiert oder subtrahiert werden und du das Ergebnis in Einzelteile zerlegen willst.

Die Formeln sind nicht intuitiv. sin(α+β) ist nicht einfach sin(α) + sin(β). Stattdessen entstehen Mischterme aus Sinus und Kosinus beider Winkel.

Die Formeln

Sinus-Additionstheoreme

sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β)

sin(α - β) = sin(α) · cos(β) - cos(α) · sin(β)

Merke: Bei der Addition steht ein Plus zwischen den Termen. Bei der Subtraktion ein Minus. Die Struktur bleibt gleich: sin mal cos plus/minus cos mal sin.

Kosinus-Additionstheoreme

cos(α + β) = cos(α) · cos(β) - sin(α) · sin(β)

cos(α - β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)

Achtung: Beim Kosinus ist das Vorzeichen umgekehrt. cos(α+β) hat ein Minus, cos(α-β) hat ein Plus. Das ist der häufigste Fehler bei Klausuren.

Tangens-Additionstheorem

tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α) · tan(β))

tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α) · tan(β))

Der Tangens-Fall hat einen Bruch. Im Zähler stehen die Tangenswerte addiert oder subtrahiert. Im Nenner steht 1 minus (bei +) oder 1 plus (bei -) das Produkt der Tangenswerte.

Wichtig: sin(α + β) ≠ sin(α) + sin(β). Das ist einer der häufigsten Fehler. Beispiel: sin(30° + 60°) = sin(90°) = 1. Aber sin(30°) + sin(60°) = 0,5 + 0,866 = 1,366. Das ist offensichtlich falsch, weil der Sinus nie größer als 1 sein kann.

Beispiel: sin(75°) berechnen

75° = 30° + 45°. Beide Winkel sind Standardwinkel mit bekannten Werten.

sin(75°) = sin(30°) · cos(45°) + cos(30°) · sin(45°)

= 0,5 · 0,7071 + 0,8660 · 0,7071

= 0,3536 + 0,6124 = 0,9659

Wozu braucht man Additionstheoreme?

In der Schule brauchst du sie zum Vereinfachen von Termen, zum Beweisen von Identitäten und in der Analysis. Beim Ableiten von Funktionen wie sin(2x) nutzt du indirekt das Additionstheorem (sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)).

In der Physik tauchen sie bei der Überlagerung von Schwingungen und Wellen auf. Zwei Wellen mit verschiedenen Phasen werden mit Additionstheoremen zusammengefasst.

Doppelwinkelformeln (Spezialfall α = β)

sin(2α) = 2 · sin(α) · cos(α)

cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 - 2sin²(α)

Die Doppelwinkelformeln sind ein Spezialfall der Additionstheoreme mit α = β. Sie kommen in Klausuren besonders häufig vor.

Typische Fehler

Vorzeichen beim Kosinus vertauschen. cos(α+β) hat ein Minus zwischen den Termen, cos(α-β) ein Plus. Das ist genau umgekehrt wie beim Sinus.

Additionstheorem vergessen und einfach addieren. sin(α+β) ≠ sin(α) + sin(β). Das funktioniert bei keiner der drei Funktionen.

Wozu brauche ich das eigentlich? Und warum muss ich das lernen? Elektrotechnik: Überlagerung von Wechselströmen verschiedener Frequenz. Akustik: Warum Kopfhörer mit Noise-Cancelling funktionieren (Gegenschall = Additionstheorem). Physik: Interferenz von Wellen (Licht, Schall, Wasser).

Häufige Fragen

Was sind Additionstheoreme einfach erklärt?

Additionstheoreme sind Formeln, die beschreiben, wie du sin, cos oder tan einer Winkelsumme (α+β) berechnest. Du zerlegst den kombinierten Winkel in seine Einzelteile.

Muss ich die Formeln auswendig können?

Ja, für die Oberstufe und das Abitur solltest du zumindest die Sinus- und Kosinus-Additionstheoreme auswendig wissen. In manchen Bundesländern stehen sie auf der Formelsammlung.

Was ist der Unterschied zwischen Additionstheorem und Doppelwinkelformel?

Die Doppelwinkelformel ist ein Spezialfall. Setzt du α = β in sin(α+β) ein, erhältst du sin(2α) = 2·sin(α)·cos(α). Die Doppelwinkelformel ist also eine Abkürzung.

Wie merke ich mir die Vorzeichen?

Beim Sinus: Das Vorzeichen im Ergebnis ist dasselbe wie in der Klammer. sin(α+β) hat ein Plus, sin(α-β) ein Minus. Beim Kosinus ist es umgekehrt: cos(α+β) hat ein Minus, cos(α-β) ein Plus.

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