Die Formel
Die Ankathete ist die Seite, die direkt neben dem Winkel α liegt (und am rechten Winkel). Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Da die Ankathete nie länger als die Hypotenuse sein kann, liegt der Kosinus immer zwischen -1 und 1.
Wertetabelle
| Winkel | Bogenmaß | cos(α) | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | Maximum |
| 30° | π/6 | 0,866 | ≈ √3/2 |
| 45° | π/4 | 0,707 | ≈ √2/2 |
| 60° | π/3 | 0,5 | Halbe Hypotenuse |
| 90° | π/2 | 0 | Nullstelle |
| 180° | π | -1 | Minimum |
| 270° | 3π/2 | 0 | Nullstelle |
| 360° | 2π | 1 | Voller Kreis |
Der Graph der Kosinusfunktion
Die Kosinuskurve sieht aus wie die Sinuskurve, startet aber bei 1 statt bei 0. Sie fällt von 1 (bei 0°) auf 0 (bei 90°), weiter auf -1 (bei 180°), steigt zurück auf 0 (bei 270°) und erreicht wieder 1 (bei 360°).
Amplitude: 1. Der maximale Ausschlag nach oben oder unten.
Periode: 360° oder 2π. Nach 360° wiederholt sich die Kurve.
Nullstellen: Bei 90°, 270°, 450° usw. Allgemein bei 90° + n·180° (mit n als ganzer Zahl).
Zusammenhang mit Sinus: cos(α) = sin(α + 90°). Die Kosinuskurve ist eine um 90° nach links verschobene Sinuskurve.
Allgemeine Kosinusfunktion
a = Amplitude. b = Frequenz (Periode = 360°/b). c = Phasenverschiebung. d = Verschiebung in y-Richtung. Die Parameter wirken genauso wie bei der Sinusfunktion.
Kosinus im Vergleich zu Sinus und Tangens
Alle drei nutzen verschiedene Seitenverhältnisse. Der Sinus nutzt die Gegenkathete, der Kosinus die Ankathete. Beide teilen durch die Hypotenuse. Der Tangens teilt Gegenkathete durch Ankathete. Es gilt: tan(α) = sin(α) / cos(α).
Typische Fehler
Kosinus mit Sinus verwechseln. Kosinus startet bei 1 und nutzt die Ankathete. Sinus startet bei 0 und nutzt die Gegenkathete. Merke: Cosinus und "C" wie "close" (nah am Winkel = Ankathete).
Vorzeichen vergessen. Im zweiten und dritten Quadranten (90° bis 270°) ist der Kosinus negativ. Viele vergessen das Minus bei Aufgaben mit stumpfen Winkeln.
Häufige Fragen
Was ist der Kosinus einfach erklärt?
Der Kosinus gibt an, wie weit ein Punkt horizontal vom Winkel entfernt ist im Verhältnis zur längsten Seite. In einem rechtwinkligen Dreieck teilst du die Ankathete durch die Hypotenuse.
Was ist cos(0°)?
cos(0°) = 1. Bei 0° fallen Ankathete und Hypotenuse zusammen. Das Verhältnis ist 1. Im Einheitskreis liegt der Punkt ganz rechts auf der x-Achse.
Was ist der Unterschied zwischen Sinus und Kosinus?
Sinus nutzt die Gegenkathete (gegenüber dem Winkel), Kosinus nutzt die Ankathete (neben dem Winkel). Beide teilen durch die Hypotenuse. Die Kosinuskurve ist die Sinuskurve, um 90° verschoben.
Wann ist der Kosinus negativ?
Zwischen 90° und 270° ist der Kosinus negativ. Im Einheitskreis entspricht das der linken Hälfte. Die x-Koordinate (= Kosinus) ist dort negativ.
Erkläre mir den Unterschied zwischen Sinus und Kosinus für die 10. Klasse. Nutze ein Beispiel mit dem Einheitskreis. Dann gib mir 5 Aufgaben: Ich gebe dir einen Winkel und du fragst mich nach sin und cos. Warte nach jeder Aufgabe auf meine Antwort, bevor du die Lösung zeigst.
Mein Kind lernt gerade Kosinus in der Schule und versteht den Unterschied zu Sinus nicht. Erkläre mir beides so einfach wie möglich. Nutze ein Bild: Ein Kind auf einem Riesenrad. Wo ist der Sinus, wo der Kosinus? Dann gib mir 3 einfache Fragen, die ich mit meinem Kind durchgehen kann.