Die Formel
Für jede Seite gibt es eine eigene Variante:
Umgestellt nach dem Winkel:
Online-Rechner
Wann brauchst du den Kosinussatz?
| Gegeben | Satz | Beispiel |
|---|---|---|
| Zwei Seiten + eingeschlossener Winkel (SWS) | Kosinussatz | a, b und γ bekannt → c berechnen |
| Alle drei Seiten (SSS) | Kosinussatz | a, b, c bekannt → Winkel berechnen |
| Zwei Winkel + eine Seite (WSW/SWW) | Sinussatz | α, β und a bekannt → b berechnen |
| Rechtwinkliges Dreieck | Pythagoras | Kosinussatz vereinfacht sich zu a² + b² = c² |
Beispielaufgabe 1: Seite berechnen (SWS)
Gegeben: a = 6 cm, b = 8 cm, γ = 60°
Gesucht: Seite c
Schritt 1: c² = a² + b² - 2ab · cos(γ)
Schritt 2: c² = 36 + 64 - 2 · 6 · 8 · cos(60°) = 100 - 96 · 0,5 = 100 - 48 = 52
Schritt 3: c = √52 = 7,211 cm
Beispielaufgabe 2: Winkel berechnen (SSS)
Gegeben: a = 5, b = 7, c = 9
Gesucht: Winkel γ
Schritt 1: cos(γ) = (a² + b² - c²) / (2ab)
Schritt 2: cos(γ) = (25 + 49 - 81) / (2 · 5 · 7) = -7 / 70 = -0,1
Schritt 3: γ = arccos(-0,1) = 95,74°
Der negative Kosinuswert zeigt: Der Winkel ist stumpf (größer als 90°).
Zusammenhang mit Pythagoras
Setze γ = 90° ein. Dann wird cos(90°) = 0 und der Term -2ab · cos(γ) fällt weg:
Das ist exakt der Satz von Pythagoras. Der Kosinussatz enthält Pythagoras als Spezialfall.
GPS: Dein Smartphone berechnet Entfernungen zwischen Satellitenpositionen - mit dem Kosinussatz.
Robotik: Roboterarme berechnen Gelenkwinkel für eine bestimmte Position. Dafür brauchen sie den Kosinussatz.
Spieleentwicklung: Kollisionserkennung und Abstandsberechnungen in 3D-Spielen basieren auf dem Kosinussatz.
Architektur: Nicht-rechtwinklige Dachkonstruktionen, Brückenträger und Fachwerke werden mit dem Kosinussatz berechnet.
Häufige Fragen
Was ist der Kosinussatz einfach erklärt?
Der Kosinussatz erweitert den Satz von Pythagoras für Dreiecke ohne rechten Winkel. Die Formel c² = a² + b² - 2ab · cos(γ) berechnet die dritte Seite, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst.
Was ist der Unterschied zwischen Kosinussatz und Pythagoras?
Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Der Kosinussatz gilt in jedem Dreieck. Bei 90° werden beide Formeln identisch, weil cos(90°) = 0 ist.
Wann nimmt man den Kosinussatz statt den Sinussatz?
Den Kosinussatz bei SWS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel) oder SSS (alle drei Seiten). Den Sinussatz bei WSW oder SWW (Winkel mit gegenüberliegender Seite bekannt).
Kann der Kosinuswert negativ werden?
Ja. Wenn cos(γ) negativ ist, ist der Winkel stumpf (größer als 90°). Das ist kein Fehler, sondern zeigt dir sofort die Art des Winkels.
Erkläre mir den Kosinussatz so, dass ich ihn wirklich verstehe. Zeige mir zuerst, warum er eine Erweiterung von Pythagoras ist. Dann gib mir 4 Aufgaben: 2x Seite berechnen (SWS) und 2x Winkel berechnen (SSS). Bei jeder Aufgabe will ich den kompletten Rechenweg sehen, Schritt für Schritt. Am Ende: Eine Tabelle, wann ich Kosinussatz und wann Sinussatz brauche.
Mein Kind hat Schwierigkeiten mit dem Kosinussatz. Erkläre mir als Elternteil: Was ist der Kosinussatz, und warum braucht man ihn, wenn man doch schon Pythagoras hat? Erkläre es mit einem einfachen Beispiel - zum Beispiel mit einem Grundstück, das kein Rechteck ist. Dann zeige mir eine Aufgabe Schritt für Schritt.