Die Formel
Das ist die zentrale Formel. Die n-te Wurzel aus a ist dasselbe wie a hoch 1/n. Das macht die Berechnung einfach: Auf dem Taschenrechner tippst du a^(1/n) ein.
Die Kubikwurzel (3. Wurzel)
Die Kubikwurzel ist nach der Quadratwurzel die wichtigste. Sie kommt vor, wenn du das Volumen eines Würfels kennst und die Kantenlänge suchst.
Beispiel: Ein Würfel hat ein Volumen von 64 cm³. Wie lang ist eine Kante? 3√64 = 4, weil 4 × 4 × 4 = 64. Die Kante ist 4 cm lang.
Ein wichtiger Unterschied zur Quadratwurzel: Die Kubikwurzel ist auch für negative Zahlen definiert. 3√(-8) = -2, weil (-2) × (-2) × (-2) = -8.
Die 4. Wurzel und höhere
Die 4. Wurzel taucht seltener auf, aber es gibt sie:
| Wurzel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Quadratwurzel (n=2) | √a = a1/2 | √16 = 4 |
| Kubikwurzel (n=3) | 3√a = a1/3 | 3√27 = 3 |
| 4. Wurzel (n=4) | 4√a = a1/4 | 4√81 = 3 |
| 5. Wurzel (n=5) | 5√a = a1/5 | 5√32 = 2 |
| 6. Wurzel (n=6) | 6√a = a1/6 | 6√64 = 2 |
Trick: Die 4. Wurzel ist dasselbe wie zweimal Quadratwurzel ziehen. 4√81 = √(√81) = √9 = 3. Das gilt allgemein: 4√a = √(√a).
Wurzelgesetze für die n-te Wurzel
Diese Gesetze folgen direkt aus den Potenzgesetzen, weil n√a = a1/n.
Anwendung: Zinseszins
Du legst 1.000 Euro an und hast nach 5 Jahren 1.276,28 Euro. Wie hoch war der jährliche Zinssatz?
Formel: Kn = K0 × (1 + p)n. Umgestellt: p = n√(Kn/K0) - 1 = 5√(1276,28/1000) - 1 = 5√1,27628 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5%.
Häufige Fragen
Was ist die n-te Wurzel einfach erklärt?
Die n-te Wurzel aus a fragt: Welche Zahl ergibt a, wenn man sie n-mal mit sich selbst multipliziert? Bei n=2 ist es die Quadratwurzel, bei n=3 die Kubikwurzel.
Wie gebe ich die n-te Wurzel in den Taschenrechner ein?
Nutze die Potenz-Taste: a^(1/n). Beispiel: 3√27 = 27^(1/3). Gib ein: 27, dann die Potenz-Taste, dann (1/3), dann Gleichheitszeichen.
Wann ist die n-te Wurzel nicht definiert?
Bei geraden Wurzelgraden (n = 2, 4, 6, ...) und negativen Zahlen unter der Wurzel. 4√(-16) ist nicht reell. Bei ungeraden Graden (n = 3, 5, 7, ...) sind auch negative Zahlen erlaubt.
Was ist der Unterschied zwischen Quadratwurzel und Kubikwurzel?
Die Quadratwurzel (√a) sucht x mit x² = a. Die Kubikwurzel (3√a) sucht x mit x³ = a. Die Kubikwurzel akzeptiert auch negative Zahlen, die Quadratwurzel nicht.
Ich lerne die n-te Wurzel für meine Mathe-Klausur. Erkläre mir den Unterschied zwischen Quadratwurzel, Kubikwurzel und der allgemeinen n-ten Wurzel. Gib mir dann 6 Aufgaben: 2 leichte (Kubikwurzeln ganzer Zahlen), 2 mittlere (4. und 5. Wurzel), 2 schwere (Anwendungsaufgaben mit Zinseszins). Löse jede Schritt für Schritt.
Erkläre mir die n-te Wurzel mit einem anschaulichen Beispiel aus dem Alltag. Warum kann man aus negativen Zahlen keine gerade Wurzel ziehen? Und was sind eigentlich komplexe Zahlen - ganz einfach erklärt, als wüsste ich nichts darüber?