Potenzen Rechner - Potenzwerte online berechnen

Eine Potenz ist wiederholte Multiplikation. 2¹⁰ bedeutet: Multipliziere 2 zehnmal mit sich selbst. Das Ergebnis ist 1024. Die untere Zahl heißt Basis, die obere Exponent.

Potenzen sind überall: Flächeninhalt (m²), Volumen (m³), Zinseszins, exponentielles Wachstum. Die Potenzgesetze helfen dir, Terme zu vereinfachen.

Die Potenzgesetze

1. Gleiche Basis, Multiplikation

a^m × aⁿ = a^m+n

Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, addiere die Exponenten. Beispiel: 2³ × 2&sup4; = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128. Warum? Weil (2×2×2) × (2×2×2×2) = 2×2×2×2×2×2×2.

2. Gleiche Basis, Division

a^m / aⁿ = a^m-n

Beim Dividieren subtrahierst du die Exponenten. Beispiel: 5⁶ / 5² = 5^6-2 = 5&sup4; = 625.

3. Potenz einer Potenz

(a^m)ⁿ = a^m×n

Eine Potenz wird nochmal potenziert? Multipliziere die Exponenten. Beispiel: (3²)³ = 3^2×3 = 3⁶ = 729.

4. Exponent 0

a⁰ = 1 (für a ≠ 0)

Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ergibt 1. Warum? Weil aⁿ / aⁿ = a^n-n = a⁰, und gleichzeitig ist aⁿ / aⁿ = 1.

5. Negativer Exponent

a^-n = 1 / aⁿ

Ein negativer Exponent bedeutet "eins geteilt durch". Beispiel: 2^-3 = 1/2³ = 1/8 = 0,125.

6. Gleicher Exponent, verschiedene Basen

(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Beispiel: (2 × 3)² = 2² × 3² = 4 × 9 = 36. Und tatsächlich: 6² = 36.

Häufiger Fehler: (a + b)² ist NICHT a² + b². Richtig: (a + b)² = a² + 2ab + b². Das Potenzgesetz gilt nur bei Multiplikation und Division, nicht bei Addition und Subtraktion.

Wichtige Potenzen

Potenz	Ergebnis	Anwendung
2¹⁰	1.024	1 Kilobyte (ca.)
2²⁰	1.048.576	1 Megabyte (ca.)
10³	1.000	Kilo
10⁶	1.000.000	Mega / Million
10⁹	1.000.000.000	Giga / Milliarde
10^-3	0,001	Milli
10^-6	0,000001	Mikro

Potenzen im Alltag

Zinseszins: Wenn du 1.000 Euro zu 5% Zinsen anlegst, hast du nach n Jahren: 1000 × 1,05ⁿ. Nach 10 Jahren: 1000 × 1,05¹⁰ = 1000 × 1,62889 = 1.628,89 Euro.

In der Physik: Die Lichtgeschwindigkeit ist etwa 3 × 10⁸ m/s. Der Durchmesser eines Atoms ist etwa 10^-10 m. Ohne Zehnerpotenzen wäre das kaum handhabbar.

Wozu brauche ich das eigentlich? Und warum muss ich das lernen? Speichergrößen: 2^10 = 1024 (KB, MB, GB - alles Zweierpotenzen). Wissenschaftliche Notation: 3×10^8 m/s (Lichtgeschwindigkeit). Biologie: Zellteilung ist exponentielles Wachstum (2^n).

Häufige Fragen

Was ist eine Potenz einfach erklärt?

Eine Potenz ist wiederholte Multiplikation. 3&sup4; bedeutet 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Die 3 ist die Basis (was multipliziert wird), die 4 ist der Exponent (wie oft).

Was ist 0 hoch 0?

0⁰ ist mathematisch nicht eindeutig definiert. In vielen Kontexten (Kombinatorik, Informatik) setzt man 0⁰ = 1 per Konvention. In der Analysis hängt es vom Grenzwert ab.

Warum ist jede Zahl hoch 0 gleich 1?

Wegen der Potenzgesetze: a¹ / a¹ = a^1-1 = a⁰. Gleichzeitig ist a¹ / a¹ = 1. Also muss a⁰ = 1 sein.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

Der Kehrwert. a^-n = 1/aⁿ. Beispiel: 5^-2 = 1/5² = 1/25 = 0,04. Ein negativer Exponent dreht den Bruchstrich um.

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