Die Formel
Die Gegenkathete ist die Seite, die dem Winkel α gegenüberliegt. Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, sie liegt gegenüber dem rechten Winkel. Die Hypotenuse ist immer länger als die Gegenkathete. Deshalb kann der Sinus nie größer als 1 werden.
Wertetabelle
| Winkel | Bogenmaß | sin(α) | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | Keine Höhe |
| 30° | π/6 | 0,5 | Halbe Hypotenuse |
| 45° | π/4 | 0,707 | ≈ √2/2 |
| 60° | π/3 | 0,866 | ≈ √3/2 |
| 90° | π/2 | 1 | Maximum |
| 180° | π | 0 | Wieder bei Null |
| 270° | 3π/2 | -1 | Minimum |
| 360° | 2π | 0 | Voller Kreis |
Der Graph der Sinusfunktion
Die Sinuskurve ist eine Wellenlinie. Sie startet bei 0, steigt auf 1 (bei 90°), fällt zurück auf 0 (bei 180°), sinkt auf -1 (bei 270°) und kehrt zu 0 zurück (bei 360°). Dann wiederholt sich alles.
Amplitude: 1. Das ist der maximale Ausschlag nach oben oder unten. Bei f(x) = 2·sin(x) wäre die Amplitude 2.
Periode: 360° oder 2π. Nach 360° wiederholt sich die Kurve. Bei f(x) = sin(2x) halbiert sich die Periode auf 180°.
Nullstellen: Bei 0°, 180°, 360°, 540° usw. Allgemein bei n·180° (mit n als ganzer Zahl).
Allgemeine Sinusfunktion
a = Amplitude (Streckung in y-Richtung). b = Frequenz (Periode = 360°/b). c = Phasenverschiebung (Verschiebung nach rechts). d = Verschiebung nach oben.
Sinus und Kosinus im Vergleich
Die Kosinuskurve sieht genauso aus wie die Sinuskurve. Sie ist nur um 90° nach links verschoben. Es gilt: cos(α) = sin(α + 90°). Im rechtwinkligen Dreieck nutzt der Sinus die Gegenkathete, der Kosinus die Ankathete.
Typische Fehler
Grad und Bogenmaß verwechseln. Steht dein Taschenrechner auf RAD und du gibst 30 ein, bekommst du sin(30 rad) = -0,988. Das ist falsch, wenn du sin(30°) = 0,5 haben willst. Prüfe immer den Modus.
Sinus und Kosinus vertauschen. Sinus nutzt die Gegenkathete, Kosinus die Ankathete. Merke: Sinus beginnt bei 0, Kosinus beginnt bei 1.
Häufige Fragen
Was ist der Sinus einfach erklärt?
Der Sinus gibt an, wie hoch ein Punkt im Dreieck liegt im Vergleich zur längsten Seite. In einem rechtwinkligen Dreieck teilst du die Gegenkathete durch die Hypotenuse.
Wie berechne ich den Sinus?
Teile die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Oder gib den Winkel in den Taschenrechner ein (Modus DEG) und drücke die sin-Taste. Oder nutze den Rechner oben auf dieser Seite.
Was ist sin(45°)?
sin(45°) = √2/2 ≈ 0,707. Bei 45° sind Gegenkathete und Ankathete gleich lang, das Dreieck ist gleichschenklig.
Warum liegt der Sinus immer zwischen -1 und 1?
Weil die Gegenkathete nie länger als die Hypotenuse sein kann. Im Einheitskreis entspricht der Sinus der y-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis mit Radius 1. Der Punkt kann den Kreis nicht verlassen.
Erkläre mir die Sinusfunktion f(x) = a·sin(b·(x-c))+d für die Oberstufe. Was bewirkt jeder Parameter? Zeige mir für jeden Parameter ein Beispiel mit konkreten Zahlen. Dann gib mir 3 Übungsaufgaben, bei denen ich aus einem Graphen die Parameter ablesen muss.
Mein Kind versteht die Sinusfunktion nicht (10. Klasse). Erkläre mir zuerst, was der Sinus ist - als hätte ich seit 20 Jahren keinen Matheunterricht gehabt. Nutze ein Beispiel mit einer Schaukel oder einem Riesenrad. Dann zeige mir, wie ich es meinem Kind in 10 Minuten beibringen kann.