Die Formel
Dabei ist a die Seite gegenüber von Winkel α, b gegenüber von β und c gegenüber von γ. Alle drei Brüche ergeben denselben Wert.
Umgestellt nach einer Seite:
Umgestellt nach einem Winkel:
Online-Rechner
Wann brauchst du den Sinussatz?
Der Sinussatz hilft in zwei Fällen:
- Zwei Winkel und eine Seite bekannt (WSW oder SWW): Du kannst den dritten Winkel berechnen (Winkelsumme 180°) und dann die fehlenden Seiten.
- Zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel bekannt (SSW): Du kannst den zweiten Winkel berechnen. Achtung: Hier kann es zwei Lösungen geben (uneindeutiger Fall).
Beispielaufgabe
Gegeben: a = 8 cm, α = 40°, β = 75°
Gesucht: Seite b
Schritt 1: Formel aufstellen: a / sin(α) = b / sin(β)
Schritt 2: Nach b umstellen: b = a · sin(β) / sin(α)
Schritt 3: Einsetzen: b = 8 · sin(75°) / sin(40°) = 8 · 0,9659 / 0,6428 = 12,02 cm
Der uneindeutige Fall (SSW)
Wenn du zwei Seiten und einen Winkel kennst, der nicht zwischen den Seiten liegt, gibt es manchmal zwei mögliche Dreiecke. Das passiert, weil sin(α) = sin(180° - α). Ein Winkel von 30° und ein Winkel von 150° haben denselben Sinuswert.
Prüfe immer: Ergibt der berechnete Winkel zusammen mit dem bekannten Winkel weniger als 180°? Wenn ja, gibt es eine Lösung. Wenn beide Varianten (α und 180° - α) funktionieren, gibt es zwei Lösungen.
Herleitung
Zeichne die Höhe h auf Seite c. Sie teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Im linken gilt sin(α) = h/b, also h = b · sin(α). Im rechten gilt sin(β) = h/a, also h = a · sin(β). Gleichsetzen ergibt:
Das gleiche Prinzip mit den anderen Höhen liefert den vollständigen Sinussatz.
Vermessung: Landvermesser berechnen Entfernungen über Winkel - genau mit dem Sinussatz. So werden Grundstücke, Straßen und Brücken vermessen.
Navigation: Schiffe und Flugzeuge bestimmen ihre Position durch Winkelmessungen zu bekannten Punkten. Der Sinussatz macht die Berechnung möglich.
Physik: Kräftezerlegung bei schiefen Ebenen, Seilkräfte, Statik - überall wo Kräfte in beliebigen Winkeln wirken.
Häufige Fragen
Was ist der Sinussatz einfach erklärt?
Der Sinussatz sagt: In jedem Dreieck ist das Verhältnis einer Seite zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels immer gleich. Damit kannst du in beliebigen Dreiecken fehlende Seiten und Winkel berechnen.
Wann benutze ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz?
Sinussatz: Wenn du einen Winkel und seine gegenüberliegende Seite kennst. Kosinussatz: Wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst, oder alle drei Seiten.
Was ist der uneindeutige Fall?
Wenn du zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennst, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben. Du musst dann beide Möglichkeiten prüfen.
Gilt der Sinussatz auch im rechtwinkligen Dreieck?
Ja. Im rechtwinkligen Dreieck vereinfacht er sich aber zu den bekannten Formeln sin(α) = a/c, weil sin(90°) = 1 ist.
Ich schreibe morgen eine Klausur und verstehe den Sinussatz nicht richtig. Erkläre mir den Sinussatz Schritt für Schritt. Dann gib mir 5 Aufgaben: 2 einfache (zwei Winkel + eine Seite gegeben), 2 mittlere (uneindeutiger Fall) und 1 schwere (Textaufgabe mit Anwendung). Zeig mir bei jeder Aufgabe den kompletten Lösungsweg.
Mein Kind lernt gerade den Sinussatz in der Schule und ich kann nicht helfen. Erkläre mir als Elternteil: Was ist der Sinussatz, wofür braucht man den, und wie funktioniert er? Nutze ein Beispiel aus dem Alltag (z.B. die Höhe eines Baums messen). Dann zeige mir eine Aufgabe Schritt für Schritt, damit ich es meinem Kind erklären kann.